symetries

Jeu 5 Avr 17:54:58 CEST 2012

Chers Tous,

On 03/27/2012 11:53 PM, Thierry Vieville wrote:
> Je donne un coup de main côté Inria à Pascal Guitton pour ce qui est 
> de la médiation scientifique. A ceetitre je souhaiterai nouer un 
> contact avec les collègues de http://www.scilab.org/fr/education/lycee 
> sur une action un  peu levier.
>
>     Nos collègues et copains du palais de la découverte préparent un 
> stand de manip sur les symétries comme expliqué ci dessous pour Romain 
> qui serait enchanté de pouvoir faire le bout de code permettant cette 
> simulation en scilab :
>     - qu'en pensons nous ?
>     - qui pourrait aider (par exemple en fournissant un code existant 
> à adapter) ?
>
> On 03/26/2012 08:10 PM, Romain Attal wrote:
>> voici la référence du livre duquel je suis parti pour expliquer au public la classification des 17 groupes de papiers-peints :
>>
>> http://books.google.fr/books/about/The_symmetries_of_things.html?id=EtQCk0TNafsC&redir_esc=y
>>
>> J'ai reformulé leur algorithme dans le texte ci-dessous (qui n'engage que moi).
>> On peut sans doute faire mieux et le rendre plus clair pour le visiteur. Je n'y décris pas le symbole de Thurston-Conway (http://en.wikipedia.org/wiki/Orbifold_notation) mais on peut l'afficher dans un coin de l'écran au fur et à mesure de la progression de l'algorithme. Ce symbole fait apparaître (en rouge) les miroirs et l'ordre des rotations en leurs (éventuels) points d'intersection (notés *), l'ordre des rotations qui ne proviennent par de la composition de réflexions (centres de gyration, en bleu), les réflexions glissées (notées x) et les paires de translations (notées o) quand il n'y a rien d'autre.
>>
>> L'auteur des dessins est Chaim Goodman-Strauss. On peut en trouver sur son site :
>>
>> http://mathbun.com/main.php
>>
>> Si tu penses que c'est traduisible facilement en Scilab avec une interface graphique simple, je pense que ça ferait une bonne application.
>>
>> Cordialement,
>>
>> Romain.
>
> *CLASSIFICATION*
>
>
> 1) Que fait le visiteur ?
>
>
> Dans cette activité sur support informatique, le visiteur dispose d'un 
> grand écran, éventuellement tactile, sur lequel il choisit un pavage 
> dans une certaine liste de pavages périodiques. On lui pose alors les 
> questions suivantes :
>
>
> a) *Ce pavage possède-t-il des axes de symétrie ?*
>
>
> Une petite animation discrète, sur le côté de l'écran, rappelle au 
> visiteur ce qu'est un axe de symétrie.
>
> Si le visiteur pense qu'il y en a, il clique sur OUI et déplace une 
> droite sur l'écran et lorsqu'il passe sur un axe de symétrie, celui-ci 
> est marqué en rouge à l'écran. Il passe alors à la question b.
>
> S'il pense qu'il n'y a pas d'axe de symétrie, il clique sur NON et 
> passe directement à la question d.
>
>
> b) *Ces axes de symétrie se coupent-ils ?*
>
>
> Le visiteur clique sur OUI ou sur NON. S'ils se coupent, on marque les 
> points d'intersection en rouge et le visiteur passe à la question c. 
> Sinon il passe à la question d.
>
>
> c) *Parmi les points d'intersection de miroirs, y en a-t-il où se 
> croisent 2 miroirs ? 3 miroirs ? 4 miroirs ? ...*
>
>
> Il semble plus facile de proposer au visiteur de cliquer sur les 
> nombres 2, 3, 4, 5, 6, ...
>
> Près de chacun de ces points d'intersection, on écrit en rouge le 
> nombre d'axes qui s'y rencontrent.
>
> S'il existe des points d'intersection de miroirs, on passe à la 
> question d', qui est formulée pour distinguer les centres de gyration 
> de ces points d'intersection.
>
>
> d) *Y a-t-il des points autour desquels on peut faire tourner le 
> pavage et le superposer plusieurs fois avec lui-même en faisant un tour ?*
>
>
> Le visiteur n'ayant pas mis en évidence de points d'intersection de 
> miroirs, il est inutile de lui demander de chercher des centres de 
> rotation qui ne soient pas sur des miroirs. Ceux qu'il risque de 
> trouver maintenant sont des centres de gyration (rotations 
> indécomposables en réflexions qui soient des symétries du pavage).
>
>
> Si le visiteur trouve de tels centres de rotation, il clique sur OUI 
> et passe à la question e. Sinon, il clique sur NON et passe 
> directement à la question f.
>
>
> En cas d'erreur de la part du visiteur, le programme doit pouvoir le 
> corriger en lui suggérant de chercher un peu plus ou en lui donnant 
> progressivement la solution.
>
>
> d') *Existe-t-il des points qui ne sont pas sur des axes de symétrie 
> et autour desquels on peut faire tourner le pavage et le superposer 
> plusieurs fois avec lui-même en faisant un tour ?*
>
>
> Si le visiteur trouve de tels centres de rotation, on les marque en 
> bleu et il passe à la question e. Sinon, il va directement en f.
>
>
> e) *Combien de fois le pavage se superpose-t-il avec lui-même quand on 
> lui fait faire un tour complet autour de chaque point bleu ?*
>
>
> Le visiteur peut cliquer sur 2, 3, 4, 5, 6, ... et s'il clique sur un 
> nombre pour lequel il existe bien un (des) centre(s) de gyration, on 
> écrit ce nombre en bleu à côté de ce(s) point(s). Lorsque le visiteur 
> a trouvé tous les centres de gyration, il passe à la question f.
>
>
> f) *Peut-on superposer le pavage avec lui-même en le déplaçant sans le 
> faire tourner et sans traverser d'axe de symétrie (ligne rouge) ?*
>
>
> Le visiteur peut faire glisser le pavage sur lui-même (celui-ci se 
> dédouble) et s'il parvient à placer un motif sur son image dans le 
> miroir sans lui faire traverser de miroir, c'est gagné : il a trouvé 
> une *réflexion glissée indécomposable*.
>
>
> g) S'il n'y a ni réflexion, ni gyration, ni réflexion glissée laissant 
> le pavage invariant, on peut identifier deux translations, dans des 
> directions indépendantes, laissant le pavage invariant. Il n'est pas 
> nécessaire de poser cette question au visiteur mais nous devons garder 
> à l'esprit que dans ce cas, les seules symétries du pavage sont ses 
> translations.
>
>
> Au fur et à mesure que le visiteur répond aux questions, on éteint la 
> lumière derrière chaque pavage exclu par la réponse donnée. A la fin, 
> seul reste allumé sur le mur le pavage de même classe que celui choisi 
> par le visiteur.
>
>
> 2) Idées et propos scientifiques.
>
>
> Grâce à leurs symétries (translations, rotations, réflexions) on peut 
> ranger les pavages périodiques du plan (papiers-peints) en 17 classes. 
> Ce théorème, démontré au XIXème siècle par Fédorov, se généralise en 
> dimension 3 où l'on trouve 230 classes cristallines.
>
>
> 3) Notions.
>
>
> Même s'il existe une infinité de motifs de papiers-peints, il n'existe 
> qu'un nombre fini de classes, dans chacune desquelles les 
> papiers-peints ont les mêmes symétries. Cette activité de 
> classification, par recherche de symétries, est courante en mathématiques.
>
>
> 4) Accessibilité.
>
>
> 5) Références.
>
>
> The Symmetries of Things (Conway et al.)
>
>
> 6) Remarques.
>
>
>
>
> -- 
> Thierry Viéville
>    http://www-sop.inria.fr/members/Thierry.Vieville
> Tel: +(33)613286459
>

-- 
Thierry Viéville
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